习题 5, § 3

让 $(E_\alpha)_{\alpha \in A}$ 成为一个局部凸空间族， $E$ 向量空间（在与 $E_\alpha$相同的标量域上），对于每个 $\alpha \in A$，让 $h_\alpha$ 成为来自的线性映射 $E_\alpha$ 进入 $E$。 空间 $E$ 被指定为最细的局部凸拓扑，其中 $h_\alpha$ 是连续的（II，p. 27）。对于每个$\alpha \in A$，令$\mathfrak{S}_\alpha$为$E_\alpha$有界子集的族，并令$\mathfrak{S}$为$E$有界子集的族$h_\alpha(\mathfrak{S}_\alpha)$的并。在这些条件下，表明对于每个局部凸空间$F$，$\mathscr{L}(E; F)$上的$\mathfrak{S}$拓扑是最粗糙的拓扑，其中线性映射$u \mapsto u \circ h_\alpha$从$\mathscr{L}(E; F)$到$\mathscr{L}_{\mathfrak{S}_\alpha}(E_\alpha; F)$是连续的。特别是，如果$E$是族$(E_\alpha)_{\alpha \in A}$的拓扑直和（II，p. 29，定义2）（每个$E_\alpha$被识别为$E$的子空间），则乘积空间 $\prod_{\alpha \in A} \mathscr{L}_{\mathfrak{S}_\alpha}(E_\alpha; F)$ 与空间 $\mathscr{L}_{\mathfrak{S}}(E; F)$ 典型同构，其中 $\mathfrak{S}$ 是 $\mathfrak{B}(E)$ 中 $\mathfrak{S}_\alpha$ 的并。