习题 9, § 4

设I为不可数无限集合；在直和向量空间$E = \mathbf{R}^{(I)}$，一方面考虑最细的局部凸拓扑$\mathscr{T}$，另一方面考虑I，p. 24中定义的拓扑$\mathscr{T}_0$，执行。 14，局部凸；我们知道$\mathscr{T}$和$\mathscr{T}_0$是不同的（II，p. 75，exerc.11）并且E与$\mathscr{T}_0$是完整的（GT，III, § 3，exerc.10）。证明 E 中的有界集合对于 $\mathscr{T}$ 和 $\mathscr{T}_0$ 是相同的（III、p. 39，执行 10），并且具有 $\mathscr{T}_0$ 的 E 不是桶装的（观察所有 $x = (\xi_i) \in E$ 中的集合 T，使得 $\sum_{i \in I} |\xi_i| \leq 1$ 为一桶并使用 11 个II、p. 75）。