习题 11, § 2

令 E 为豪斯多夫局部凸空间，使得 E 的强对偶 E'_b 是半自反的。 a) 证明，在 E' 的每个强有界子集上，由 $\sigma(E', E'')$ 和 $\sigma(E', E)$ 导出的拓扑是相同的。 b) 从 a) 中推导出 E 是拓扑 τ(E, E') (cf. IV, p. 52, 执行 1) 的子桶，并且如果 $\hat{E}$ 是这个拓扑的完成，并且用 E'* 的子集来标识（III、p. 21、第 2 个），然后是 $E'' \subset \hat{E}$。特别是，如果 E 对于 τ(E, E') 是准完备的，那么 E 对于这个拓扑是自反的。

1 另一方面，Montel 空间的闭子空间不需要是下桶，并且 Montel 空间与闭子空间的商不需要是半自反的（IV，p. 63，练习 8）。