习题 14, § 2

设 A 为无限集合。 a) 证明Banach 空间 $E = \overline{\mathscr{K}(A)}$ (IV, p. 47, 练习.1) 的强对偶可以与Banach 空间 $\ell^1(A)$ 识别，并且Banach 空间 $\ell'(A)$ 的强对偶可以与Banach 识别空间$\mathscr{B}(A) = \ell^\infty(A)$；推断 E 不是自反的，并且 $E''/E$ 是无限维的（cf. IV，p. 71，练习 18）。如果$A = \mathbf{N}$，则E和E'是Banach空间，其中满足是可数性的第一公理，但$E''$不是（I，p. 25，练习1）。 b) 令$B''$为$E'' = \ell^\infty(A)$中的单位球，令$B''_0$为凸集合$B'' + (B'' \cap E)$。证明$B''_0$是强拓扑在$E''$中的有界闭凸集合，具有非空内部，但不具有任何极值点。如果$p$是$B''_0$的规范，证明赋予范数$p$的$E''$不等距于任何Banach空间的对偶，并且$B''_0$对于拓扑$\sigma(E'', E')$不是封闭的（尽管$B''$ 对于 $\sigma(E'', E')$ 是紧的，$B'' \cap E$ 是强闭的）。