习题 13, § 3

a) 令 E, F 为两个 Fréchet 空间，G 为局部凸 Hausdorff 空间，E', F', G' 分别为 E, F, G 的对偶。设$u$是从$E' \times F'$到$G'$的双线性映射，当E'，F'，G'被分配弱拓扑$\sigma(E', E)$，$\sigma(F', F)$和$\sigma(G', G)$时，它是单独连续的（III，p. 28）。证明在这些条件下，当E'、F'和G'被分配强拓扑时，$u$是从$E' \times F'$到$G'$的连续映射。 （对于$z \in G$，将$\langle z, u(x', y') \rangle = \langle v_z(x'), y' \rangle$放在$v_z(x') \in F$的位置。首先证明，如果$E'$被分配了强拓扑和$F$初始拓扑，那么所有$v_z$的集合，因为$z$范围超过一个有界集合$C$在$G$中，是等连续的；对于此用途IV，p. 51，练习19，$d$）。接下来证明，对于$E'$的强拓扑，存在$0$的邻域$V'$，使得当$z$范围超过$C$时，集合$v_z(V')$的并有界于$F$；为此使用III，p. 47，锻炼。 5.) b) 给出例，证明如果我们假设$E$是Fréchet 空间并且$F$是Fréchet 空间的严格归纳极限（III，p. 47，执行3），则a）的结论不成立。