习题 14, § 3

a) 令 $E$ 为 Fréchet 空间，$E'$ 为其对偶。 证明 $E'$ 具有紧收敛的拓扑或更细 $\mathscr{S}$ 拓扑，是完备的 ($cf.$ III, p. 22, 注 1)。 如果 $E$ 不是自反的，则证明对于任何 $\mathscr{S}$ 拓扑，更细比拓扑紧致收敛且比 $\tau(E', E)$ 更粗糙，$E'$ 都不是 infrabarreled。 b) 令$(E_\alpha)_{\alpha \in A}$为Fréchet空间、$E$向量空间的族，对于每个$\alpha \in A$，令$h_\alpha$为从$E_\alpha$到$E$的线性映射。 假设 $E$ 具有最精细的局部凸拓扑，其中 $h_\alpha$ 是连续的（II，p. 27），它是 Hausdorff。 证明$E$的对偶$E'$，赋予紧收敛的拓扑或任何更细$\mathscr{S}$拓扑，是完备的（$cf.$III，p. 20，第1）。