习题 5, § 3

对于每个整数 $n > 0$，令 $a^{(n)}$ 为双序列 $(a_{pq}^{(n)})$ ($p \in \mathbf{N}, q \in \mathbf{N}$)，使得$a_{pq}^{(n)} = q$（如果$p \leq n$）和$a_{pq}^{(n)} = 1$（如果$p > n$）。令 E 为实数的所有双序列 $x = (x_{pq})_{(p,q) \in \mathbf{N} \times \mathbf{N}}$ 的向量空间，这样，对于每个整数 $n > 0$，数 $r_n(x) = \sum_{p,q} a_{pq}^{(n)} |x_{pq}|$ 都是有限的。如果 E 被分配由半范数 $r_n$ 定义的拓扑，则 E 是 Fréchet 空间满足可数性第一公理 (IV, p. 47, exerc. 1, c))； E 的对偶 E' 可以用实数的所有双序列 $x' = (x'_{pq})$ 中的空间来识别，这样对于至少一个指标 $n$，存在$k_n > 0$，使得对于每个对都有 $|x'_{pq}| \leq k_n a_{pq}^{(n)}$ $(p, q)$；和$\langle x, x' \rangle = \sum_{p,q} x_{pq} x'_{pq}$（IV，p. 47，练习1，c））。 对于整数$p_0 > 0$和整数$> 0$的每个序列$(m_p)$，令$J(p_0; (m_p))$为整数$p > 0, q > 0$的对集合，使得$p \geq p_0$和$q \geq m_p$；令$\mathscr{B}$为集合$J(p_0; (m_p))$的$\mathbf{N} \times \mathbf{N}$由……组成上的过滤器基，并令$\mathfrak{F}$为超滤器，其比基$\mathscr{B}$的过滤器更细。 a) 证明对于所有$x' = (x'_{pq}) \in E'$，双序列$(x'_{pq})$相对于超滤器$\mathfrak{F}$有极限$u(x')$；如果$V_n$是由$r_n(x) \leq 1$定义的E中0的邻域，则$|u(x')| \leq 1$对于所有$x' \in V_n^\circ$。 b) 令$U'$在$E'$中为0的邻域，对于强拓扑，它是凸的、平衡的、弱闭的，并且对于每个$n$，令$\alpha_n > 0$使得$\alpha_n V_n^\circ \subset U'$。对于每个整数$p > 0$，令$m_p$为整数，使得$2^{p+1} \leq \alpha_p m_p$，并令$x' = (x'_{pq})$为双序列，其中$x'_{pq} = 0$为$q < m_p$、$x'_{pq} = 2$ $q \geq m_p$。显示 $x' \in U'$ 但$u(x') = 2$；推断 $u$ 在 $E'$ 中不是强连续的，同时在 $E'$ 的每个有界子集上有界。 结论 (IV, p. 58, 练习 3) 表明 E 无法区分，因此强对偶 $E'_b$ 是非下桶 (DF) 空间。 c) 使用 Fréchet 空间 F 的闭子空间 M 的 b) 构造例，使得强拓扑 $\beta(F'/M^\circ, M)$ 不同于强拓扑除以 $M^\circ$ 的商拓扑 $\beta(F', F)$（将 E 嵌入 Banach 空间的可数乘积中）。