习题 6, § 3

a)** 设 E 为 (DF) 空间 (IV, p. 57, 练习 2)，并令 U 为凸集合，使得对于 E 的每个有界、凸且平衡的子集 A，对于拓扑诱导的$U \cap A$ 是 0 的邻域证明 U 是 A 中 0 的邻域。（令 $(A_n)$ 为 E 的规范出生学的可数基（III，p. 3，定义 5）。证明，通过归纳，我们可以定义序列 E 中 0 的闭凸平衡邻域的数 $> 0$ 的 $(\lambda_n)$ 和序列 $(V_n)$，使得每个 $n$ 都有 $\lambda_n A_n \subset \frac{1}{3} U, \lambda_n A_n \subset \bigcap_{j=1}^\infty V_j, V_n \cap A_n \subset U$。

首先证明，如果$j \leq n$构造了$\lambda_j$和$V_j$，那么我们可以找到$\lambda_{n+1}$，使得$\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset \frac{1}{3} U$和$\lambda_{n+1} A_{n+1} \subset V_j$适合$j \leq n$。接下来证明我们可以找到$V_{n+1}$，使得$\lambda_j A_j \subset V_{n+1}$对于$j \leq n + 1$和$V_{n+1} \cap A_{n+1} \subset U$；为此，让A表示$j \leq n + 1$的$\lambda_j A_j$的凸包络，表明我们可以将$V_{n+1} = \overline{A + V}$作为0的合适凸平衡邻域V；我们注对此足以表明，如果$B = A_{n+1} \cap \complement U$，则0不在集合$B + 2A$的闭包中。 b) 从a)推导出，如果$u$是线性映射从E到局部凸空间F，使得$u$的限制到E的每个有界子集是连续的，则$u$是连续的（$cf.$IV， p. 50，练习15）。