习题 8, § 3

令 E 为 Fréchet 空间，$E'_b$ 其强对偶。假设$E'_b$中存在处处稠密的序列$(x'_n)$。证明 E 满足可数性第一公理。 （令$(K'_n)$为闭凸平衡集合的$E'_b$由……组成的规范出生学的可数基。对于点$x'_n$的每个系统$\alpha$由……组成，任意有限有理数数 $\lambda_k > 0 (1 \leq k \leq m)$ 和 m 指标 $n_k$ 的数使得 $x'_n \notin 2 \sum_{k=1}^m \lambda_k K'_{n_k} = 2H'_\alpha$，令 $x_\alpha \in E$ 使得超平面与方程 $\langle x_\alpha, y' \rangle = 1$ 严格分离两个弱紧集 $H'_\alpha$ 和$x'_n + H'_\alpha$。证明对于$E'$中的每个$x' \neq 0$，存在系统$\alpha$使得$\langle x_\alpha, x' \rangle \neq 0$。为此，考虑$E'_b$中0的邻域V'使得$V' \cap (x' + V') = \varnothing$，然后对于每个整数$m$，取有理数$\lambda_m > 0$使得$\lambda_m K'_m \subset V'$；使用$\lambda_m K'_m$的并$U' \subset V'$是0的邻域（练习7，和IV， p. 58，执行 3，b)) 并且存在$n$使得$x'_n \in x' + U'$。）