习题 9, § 3

a)** 设 E 为 Hausdorff 半桶空间，M 为 E 的闭向量子空间，且$E'$ E 的对偶。证明 $E/M$ 是半桶，且强拓扑 $\beta(M^\circ, E/M)$ 与拓扑相同$M^\circ$强者拓扑$\beta(E', E)$。 （注足以证明$M^\circ$中的序列$(x'_n)$对于$\beta(E', E)$收敛到0对于$\beta(M^\circ, E/M)$有界。）推导出如果E是(DF)空间，那么$E/M$($cf.$) IV，p. 63，练习 8)。

b) 令 E 为 E 的局部凸 Hausdorff 空间，M a（不一定闭）向量子空间。证明，如果 M 是半桶形空间，则强拓扑 $\beta(E'/M^\circ, M)$ 与商拓扑相同强者的$M^\circ$拓扑$\beta(E', E)$。 （如a中的论证。） c) 证明 Hausdorff 和准完全半桶形空间 E 是完全的（使用 b）应用于 E 和 $\hat{E}$）。特别是，半桶状、半反身空间已完成（*cf.* IV、p. 52，练习 6）。 d) 证明半桶式（分别为 (DF)）Hausdorff 空间的完成是半桶式（分别为 (DF) 空间）。 e) 令$(E_n)$为半桶状（分别为（DF））空间、E 向量空间的序列，对于每个n，令$f_n$为从$E_n$到E的线性映射。假设E为$f_n(E_n)$的并；表明，对于最细局部凸拓扑，E 是半桶状的（分别为 a (DF) 空间），其中所有 $f_n$ 都是连续的（首先检查 E 是 $E_n$ 的拓扑直和的情况）。如果 $E_n$ 是半自反（或自反）且 E 是豪斯多夫，则 E 是半自反（或自反）。