习题 13, § 4

a)** 令 $E$ 为 Hausdorff 且完全局部凸空间。假设$E$中存在闭向量子空间的$(F_n)$递减序列，使得对于$E$中0的每个邻域$V$，存在$n$使得$F_n \subset V$。证明空间 $E$ 是最小的型（II，p. 85，练习 13）。 b) 令 $E$ 为 Fréchet 空间满足第一个可数性公理，并且它不是最小的型。证明 $E$ 中存在两个闭向量子空间 $M, N$，使得 $M \cap N = \{0\}$ 且$M + N$ 不闭。 （令$(x'_n)$表示$E$上线性独立连续线性形式的序列，形成$\sigma(E', E)$的总集合（III，p. 19，cor.2））；令 $L_n$ 为 $E$ 的子空间，与指标 $i \leq 2n$ 的 $x'_i$ 正交；设$x_n, y_n$是$L_{n+1}$相对于$L_n$的补集，两个线性无关的向量。令 $d$ 为定义 $E$ 的拓扑的平移不变距离。使用a)证明存在数$\alpha > 0$，这样我们就可以取$d(0, x_n) \geq \alpha, d(0, y_n) \geq \alpha$和$d(x_n, y_n) \leq 1/n$。证明如果$M$（或$N$）是由$x_n$（或$y_n$）生成的闭向量子空间，则$M$和$N$具有所需的属性；使用I、p. 19、cor。 4.) c) 令$E$为乘积$\prod_{\alpha \in A} F_\alpha$的范数空间的闭子空间；证明如果由点可数族生成的 $E$ 的每个闭子空间都具有最小型，则 $E$ 本身具有最小型。 （通过*归谬法*论证，假设每个$F_\alpha$上的$E$的投影等于$F_\alpha$，并且对于某些$\alpha$，$F_\alpha$是无限维的。） d) 令$E$为豪斯多夫且完全局部凸空间，其中点可数族生成的每个子空间都是可度量的。在阶中，$E$是最小的型，对于向量子空间$M, N$的闭$E$的每个对来说，有充分必要，使得$M \cap N = \{0\}, M + N$在$E$中闭（使用b）并且c））。