习题 14, § 4

a) 设 $E$ 为 Fréchet 空间，其上不存在连续的范数。证明$E$（II，p. 85，练习13）中存在最小型的闭向量子空间，它是无限维的，因此在$E$中有拓扑补。 （存在凸凸的严格递减基本序列$(V_n)$，$E$中0的平衡邻域，以及$E$的点的序列$(x_n)$使得$x_n \notin V_{n+1}$并且使得线经过通过$x_n$包含在$V_n$中，$x_n$线性无关；证明所需的空间是由$x_n$生成的闭向量子空间。）

b) 令 E 为 Fréchet 空间，其拓扑不能由单个范数定义，但由范数的递增序列 $(p_n)$ 定义。设$V_n$为$p_n(x) \leq 1$定义的邻域，并令$A'_n = V_n^\circ$为其在$E'$的极坐标；我们可以假设$A'_{n+1}$不包含在$A'_n$生成的$E'$的向量子空间中（IV，p. 49，执行12，c））。令$(x'_n)$为$E'$的点的序列，使得$x'_n \in A'_n$且$x'_n$不会由$A'_{n-1}$生成属于至向量子空间；表明由序列 $(x'_n)$ 生成的向量子空间 $M'$ 在 $E'$ 中是弱闭的 (cf. IV, p. 25, cor. 2) 并且在 $E'$ 中没有拓扑补集拓扑$\sigma(E', E)$。 （观察到，如果存在从$E'$到$M'$的弱连续投影算子$u'$，则$u'(A'_1)$将被贝尔的定理包含在集合$M' \cap A'_n$之一中，并导出矛盾，因为$A'_1$是$E'$ 中的弱总。） 推断$E$ 的子空间 ${M'}^\circ$ 在$E$ 中没有拓扑补集。

c) 令 E 为 Fréchet 空间，其拓扑不能由单个范数定义。证明如果 E 不与 Banach 空间的乘积同构，则 E 中存在一个没有拓扑补的闭向量子空间。 （通过*归谬*论证；令$(p_n)_{n \geq 1}$为E上半范数递增序列，定义E的拓扑；令$F_n = p_n^{-1}(0)$并令$E_{n+1}$为$F_{n+1}$相对于$F_n$的拓扑补集（我们放入$E = F_0$）；使用b)，证明$E_{n+1}$是Banach空间，并且E与$E_n (n \geq 1)$的乘积同构；为此用途I、p. 17、th。 1.)