习题 8, § 4

对于每个整数$n > 0$，令$a^{(n)}$为双序列$a^{(n)} = (a_{ij}^{(n)})_{i \geq 1, j \geq 1}$，对于每个对$(i, j)$，由$a_{ij}^{(n)} = j^n$定义，这样对于每个对，$i < n$和$a_{ij}^{(n)} = i^n$ $(i, j)$使得$i \geq n$。令 E 为双序列 $x = (x_{ij})$ 实数的向量空间，这样，对于每个整数 $n > 0$，我们有$p_n(x) = \sum_{i,j} a_{ij}^{(n)} |x_{ij}| < + \infty$； E 上 Fréchet 空间和 Montel 空间的半范数 $p_n$ 定义拓扑（IV、p. 60，练习 11）； E 的对偶 $E'$，即 (DF) 空间和 Montel 空间（因此超生性和反身性）与所有序列 $x' = (x'_{ij})$ 的空间相同，因而，对于至少一个指标 $n$，我们有关系$\sup_{i,j} |a_{ij}^{(n)}|^{-1} |x'_{ij}| < + \infty$（IV、p. 47、练习 1、$c$）。

a) 对于每个$x = (x_{ij}) \in E$，让$y_j = \sum_i x_{ij}$（对于所有$j \geq 1$）。表明 $\sum_j |y_j| < + \infty$；让$u(x)$表示序列$(y_i) \in \ell^1(\mathbf{N})$；表明$u$是从E到$F = \ell^1(\mathbf{N})$的连续线性映射，并且对于每个序列$y' = (y'_j) \in F' = \ell^\infty(\mathbf{N})$，$u'(y')$是序列$(z'_{ij}) \in E'$，其中$z'_{ij} = y'_j$对于每个指标 $i$。推出$u'$是$E'$从$\ell^\infty(\mathbf{N})$到子空间的单射线性映射，对于$\sigma(E', E)$是封闭的，因此对于初始拓扑，$u$是从E到$\ell^1(\mathbf{N})$的严格态射，并且对于弱拓扑$\sigma(F', F)$和$\sigma(E', E)$，$u'$是从$F' = \ell^\infty(\mathbf{N})$到$u'(F')$的同构。

b) 设 $M = u^{-1}(0)$；然后$M^\circ = u'(F')$。证明$E'$的强拓扑在$M^\circ$上诱导拓扑的$u'$下的逆像，是$F$的紧子集一致收敛的拓扑（IV， p. 28，第1和p. 54，练习15）。推论在$M^\circ$、拓扑由强拓扑$\beta(E', E)$诱发不是强拓扑$\beta(M^\circ, E/M)$，而对于$\beta(E', E)$、$M^\circ$诱发拓扑不是下桶空间，尽管是超生蒙特尔空间的封闭子空间；另一方面，$E/M$，即 Fréchet 和 Montel 空间与闭子空间的商，不是自反的。证明在 $E/M$ 中存在有界集合，它不是 E 的有界子集的典范像。