习题 19, § 1

令 $E$ 为范数为空间的无限维复数。假设存在一个从集合 $\mathfrak{M}$ 到 $E$ 的闭向量子空间到其自身的双射映射 $\omega$，具有 exerc 中列出的属性。 18. a) 证明存在从 $E$ 到其对偶 $E'$（对于 $\mathbf{C}$ 的自同构 $\xi \mapsto \overline{\xi}$）的半线性映射 $u$，定义为标量因子，并且对于每个 $M \in \mathfrak{M}$ 都有 $u(M) = (\omega(M))^{\circ}$。 （按照练习18进行；使用IV、p. 65、练习16，证明$u$是相对于$\mathbf{C}$的恒等式自同构或自同构$\xi \mapsto \overline{\xi}$的半线性映射；最后证明第一种情况不能自$\langle x, u(x) \rangle \neq 0$ 开始发生$x \neq 0$。） b) 如果我们放入$\langle y|x \rangle = \langle x, u(y) \rangle$，则表明$\langle x|y \rangle = \langle y|x \rangle$和$\langle x|x \rangle$在所有$x \neq 0$的集合上具有相同的符号（与练习18中的方法相同）。 c) 最后证明由范数$\langle x|x \rangle^{1/2}$定义的拓扑比$E$上的初始拓扑$\mathscr{T}_0$更更细，并且当$E$完备的$\mathscr{T}_0$时这两个拓扑是相同的；在后一种情况下，$\omega(M)$是希尔伯特空间$E$中$M$的正交补集。