习题 31, § 1

如果对于每个$\varepsilon$使得$0 < \varepsilon < 2$，存在$\delta > 0$使得E中的关系$\|x\| \leq 1, \|y\| \leq 1, \|x - y\| \geq \varepsilon$隐含$\|\frac{1}{2}(x + y)\| \leq 1 - \delta$，则规范化的空间E（实数或复数）被称为“均匀凸”。均匀凸空间是严格凸的（V，p. 67，练习 27）。如果对于每个$\varepsilon > 0$，存在$\eta > 0$使得关系$\|x\| \geq 1, \|y\| \geq 1, \|x - y\| \leq \eta$暗示不等式$\|x + y\| \geq \|x\| + \|y\| - \varepsilon \|x - y\|$，我们说E是“均匀平滑”。这相当于：对于每个$\varepsilon > 0$，都存在$\rho > 0$，使得关系$\|x\| = 1, \|y\| \leq \rho$意味着不等式

均匀平滑的空间是平滑的（V、p. 66、练习 26）。

a) 证明如果E是均匀凸的，则其强对偶E'是均匀光滑的，并且如果E是均匀光滑的，则E'是均匀凸的； E 的单位球体 S 的唯一支持映射（V，p. 67，执行 29）的限制是从 S 到 E' 的单位球体 S' 的映射，对于 E 和 E' 的范数拓扑是连续的。 b) 证明如果 E 是一致凸的，并且如果 E 上的滤波器 $\mathfrak{F}$ 对于拓扑 $\sigma(E, E')$ 收敛到 $x_0$，并且使得 $\lim_{\mathfrak{F}} \|x\| = \|x_0\|$，那么对于 E 的初始拓扑，$\mathfrak{F}$ 收敛到 $x_0$。 c) 证明均匀凸或均匀光滑的 Banach 空间是自反的（使用 b）和 c），以及 IV、p. 60、exerc。 12）。 （cf.V，p. 72，练习 14。） d) 概括第一个部分。 V、p. 10 中的 1 个，以及相关的。 V、p. 11 的 1 和 2 到均匀凸 Banach 空间。