习题 33, § 1

令 E 为均匀凸 Banach 空间 (V, p. 67, 练习 31)。那么存在数$\theta$使得$\frac{3}{4} \leq \theta < 1$并且使得E中的关系$\|x - y\| \geq \frac{1}{2} \sup (\|x\|, \|y\|)$蕴涵$\| \frac{1}{2}(x + y) \| \leq \theta \sup (\|x\|, \|y\|)$。 a) 令$(x_n)$为E的点的序列，使得$\|x_n\| \leq M$并且使得序列对于$\sigma(E, E')$趋于0。证明，如果对于指标$p,\ \|x_p\| \geq \frac{1}{2} M$，则存在$q > p$使得$\|x_p - x_q\| > \frac{1}{2} M$，因此存在$\| \frac{1}{2}(x_p + x_q) \| \leq \theta M$（通过反证法论证，通过注意到对于所有$x' \in E'$使得$\|x'\| = 1$，我们有$\langle x_p, x' \rangle = \lim_{n \to \infty} \langle x_p - x_n, x' \rangle$）。

推导出从 $\mathbf{N}$ 到自身存在严格递增的映射 $\ell$ 使得 $\| \frac{1}{2}(x_{\ell(2n)} + x_{\ell(2n+1)}) \| \leq M \theta$，并且如果 $x_n^{(1)} = \frac{1}{2}(x_{\ell(2n)} + x_{\ell(2n+1)})$，序列 $(x_n^{(1)})$ 对于 $\sigma(E, E')$ 趋于 0，对于所有$\|x_n^{(1)}\| \leq M \theta$ $n$。 b）证明存在从$(x_n)$提取的序列$(x_{n_k})$，这样，如果我们放入$y(k) = x_{n_k}$，我们有以下性质：对于每个整数$p > 1$，每个整数$q < p$和每个整数 $i$使得$1 \leq i \leq 2^{p-q}$，

（迭代a）的过程，从序列$(x_n^{(k)})$构造序列$(x_n^{(k+1)})$，就像从$(x_n)$构造$(x_n^{(1)})$一样；然后使用合适的“对角化的方法”。） c) 令$r$和$q$为两个整数$> 1$。从 b) 推导出，如果 $r2^q \leq k \leq (r+1)2^q$，则 （将左侧的和分解为多个子集，将$h$从1变化到$2^q$，然后从$(j-1)2^q + 1$变化到$j2^q$，$2 \leq j \leq r$，然后从$r2^q + 1$变化到$k$）。 d) 证明对于 E 中的每个有界序列 $(x_n)$，都存在一个提取的序列 $(x_{n_k})$，使得平均值 $(x_{n_1} + \cdots + x_{n_k})/k$ 的序列收敛于 E 的初始拓扑（Banach-Saks-Kakutani 定理）。 （利用 E 是自反这一事实，对于 $\sigma(E, E')$，序列 $(x_n)$ 收敛到 0 的情况，使用约化，对于$q$ 和 $r$ 足够大，使用 c)。）