习题 15, § 2

a) 对于每个整数$n > 0$，令$a^{(n)}$为双序列定义在IV，p. 63，执行。 8. 令 E 为双序列 $x = (x_{ij})$ 实数的向量空间，这样，对于每个整数 $n > 0$，我们有 $p_n(x) = (\sum_{i,j} a_{ij}^{(n)} |x_{ij}|^2)^{1/2} < + \infty$。证明 $p_n$ 是 E 上的半范数，并且赋予由这些半范数定义的拓扑的 E 是一个 Fréchet 空间和一个 Montel 空间（论证如IV、p. 60，练习 11）。 b) 证明 E 的对偶可以用所有双序列 $x' = (x'_{ij})$ 中的空间 $E'$ 来识别，这样，对于至少一个指标 $n$，我们有 $\sum_{i,j} (a_{ij}^{(n)})^{-1} |x'_{ij}|^2 < + \infty$。 c) 对于每个$x = (x_{ij}) \in E$，证明$\sum_{j=1}^\infty (\sum_{i=1}^\infty |x_{ij}|^2) < + \infty$（使用柯西-施瓦茨不等式）；对于每个$j \geq 1$，放入$y_j = \sum_{i=1}^\infty x_{ij}$； 序列$u(x) = (y_j)$然后属于到希尔伯特空间$\ell^2(\mathbf{N})$。证明$u$是从E到$\ell^2(\mathbf{N})$的严格满射态射；推断在 $\ell^2(\mathbf{N})$ 中存在弱紧集，它们不是 E 中有界集合的 $u$ 下的像（论证如IV、p. 63，练习 8）。