Bourbaki

习题 15, § 3

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实变函数, I, 44

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

设II为R\mathbf{R}上的开区间，f\mathbf{f}向量函数在II上定义且连续；假设在II上定义了nn 向量函数 gig_i (1≤i≤n1 \leq i \leq n)，并且xx的函数

1hn(f(x+h)−f(x)−∑p=1nhpp!gp(x)) \frac{1}{h^n} \left( \mathbf{f}(x+h) - \mathbf{f}(x) - \sum_{p=1}^n \frac{h^p}{p!} \mathbf{g}_p(x) \right)

当 hh 趋向于 0 时，II 中包含的每个紧区间一致趋于 0

a) 我们输入 fp(x,h)=Δpf(x;h,h,…,h)\mathbf{f}_p(x,h) = \Delta^p \mathbf{f}(x;h,h,\ldots,h) (I, p. 40, 练习 6)。证明，对于1≤p≤n1 \leq p \leq n，当hh趋于0时，II的每个紧凑子区间上(1/hp)fp(x,h)(1/h^p) \mathbf{f}_p(x,h)一致趋于gp(x)\mathbf{g}_p(x)，并且gp\mathbf{g}_p在II上连续（依次证明p=n,p=n−1p = n, p = n-1等）

b) 由此推论f\mathbf{f}有一个连续的nthn^{th}导数，并且对于1≤p≤n1 \leq p \leq n有f(p)=gp\mathbf{f}^{(p)} = \mathbf{g}_p（考虑到关系fp+1(x,h)=f(x+h,h)−fp(x,h)\mathbf{f}_{p+1}(x,h) = \mathbf{f}(x+h,h) - \mathbf{f}_p(x,h)）。

解答

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