习题 2, § 5

令 $T$ 为完全正则空间，$\mathfrak{F}$ 为 $\mathscr{M}_+^b(T)$ 上的过滤器，紧密收敛到有界测度 $\mu$。 $T$ 的 Borel 子集 $A$ 被认为是收敛集合（对于 $\mathfrak{F}$）如果 $\lim_{\lambda, \mathfrak{F}} \lambda_A = \mu_A$。

a) 如果不相交的集合 $A_1$ 和$A_2$ 收敛于集合，则$A_1 \cup A_2$ 也收敛。

b) 设$A$为开或闭集合。为了使$A$收敛于集合，$\lim_{\lambda, \mathfrak{F}} \lambda^*(A) = \mu^*(A)$是必要且充分的。如果$A$是集合的收敛，那么$T - A$也是收敛的。

c) 令$A$为$T$的开收敛或闭收敛集合，且$B$为集合的收敛，使得$T - B$也是集合的收敛。那么$A \cup B$和$A \cap B$收敛于集合，它们的补集也是如此。

d) 开放收敛集合产生的氏族由收敛集合组成。

e) 令$A$为$T$的子集，其边界$\mu$可忽略不计。那么$A$是收敛集合。

f) 假设 $T$ 是局部紧致的或波兰的。证明 $T$ 的每个紧致子集 $K$ 都包含在紧致收敛集合中（如果 $T$ 是局部紧致的，则使用习题 1 b）。如果$T$是波兰语，则使用$K$的有限覆盖$\mathscr{U}_p$和$T$的开放子集相同的习题到构造序列，其中$\mu$可忽略边界和直径$< 2^{-p}$；表明 $L = \bigcap_p \bigcup_{U \in \mathscr{U}_p} \overline{U}$ 是紧致的，并且结论是 b)) 的收敛集合。

g) 扩展 f) 在完全度量空间上收敛序列测量的情况下的结果。