习题 22, § 5

在局部紧凑空间 $T$ 上的有界测度的 Banach 空间 $E = \mathscr{M}^1(T)$ 中，对于弱化的拓扑，令$H$ 为紧集。

a) 表明，对于每个$\varepsilon > 0$，在$T$上存在一个正测度$\mu_\varepsilon$，使得每个测度$\nu \in H$都是和与基$\mu_\varepsilon$的正测度以及与$\mu_\varepsilon$和范数不同的测度$\lambda$ $\leq \varepsilon$。 （利用空间$E$配备了范数和阶结构，与空间$L^1(S, \rho)$同构的，其中$S$是致密石空间的并并且$\rho$ 是$S$ 的正测量（Ch. IV, §4，Exer. 10），并在 $L^1(S, \rho)$ 中应用 Exer 15 的标准 $\alpha_1$。）

b) 从a) 推出$T$ 上存在正测度$\mu$，使得所有测度$\nu \in H$ 都有基 $\mu$（使用Exer.4 b））。