习题 8, § 6

令 T 为紧致空间，$\mu$ 为总质量 1 的 T 的扩散正测度。

a) 证明 T 在 E = $[0,1]$ 上存在连续的映射 $\pi$，使得 $\pi$ 下$\mu$ 的像是 E 上的勒贝格测度 $\lambda$。（如 Urysohn 的定理的证明中那样进行（GT，IX, §4，Th.1）通过定义，对于每个$t$使得$0 \leq t \leq 1$，一个开放的集合$U(t) \subset T$，$\mu$的四元数（Ch.IV, §5，Exer.17），使得$U(0) = \varnothing$，$U(1) = T$， $\overline{U(t)} \subset U(t')$ $t < t'$，最后$\mu(U(t)) = t$；使用§5的7来证明，如果$V, W$是T中的两个四元开集合，使得$\overline{V} \subset W$和$\mu(V) < \mu(W)$，则存在一个四元开集合 U 使得 $\overline{V} \subset U \subset \overline{U} \subset W$ 并且使得

最后，应用Exer。 5a).)

b) 从 a) 推断出 T 中存在 $\mu$ 不可测的子集（第 1 章） IV, §4，埃克瑟。 8），$\mathscr{L}^p(T, \mu)$中存在序列，阶$p$的均值收敛于0，但在T的任何点处不收敛于0，对于$1 \leq p < +\infty$（第8章） IV, §3，埃克瑟。 1)，以及序列$(f_n)$，使得对于$L^p(T, \mu)$的弱化拓扑，$(\tilde{f}_n)$收敛到0，但在测量上不收敛到0(§5，Exer.19)。

c) 此外，假设 T 是可度量的。证明存在 T 的 $\mu$-可忽略的子集 N，E 的 $\lambda$-可忽略的子集 M，以及 E — M 到 T — N 的同胚 $\pi$，使得，如果扩展（任意）$\pi$ 到映射将 E 的 $\varphi$ 转换为 T，将 T 的 $\pi^{-1}$ 至映射 $\psi$ 转换为 E，然后是 $\varphi(\lambda) = \mu$ 和 $\psi(\mu) = \lambda$。 （使用IV, §5章的Exer.17，表明对于每个整数$n > 0$，存在一个由$\mu$-可忽略的集合和直径为$\leq 1/n$的四元开集合形成的有限划分（对于与 T 的拓扑兼容的度量和度量 $\leq 1/n$ 递归地进行，通过到极限，推导出 E — D 的连续映射 $f$ 存在于 T 中，其中 D 是 E 的可数子集，使得 $f(\lambda) = \mu$；可以安排 $f$ 是 E — D 到测度 1 的 T 子集的同胚（cf. §8。Exer. 14）。）