习题 12, § 3

令$E$为不可度量紧致空间，将$\mathbf{R}$的区间$[ -1, +1 ]$配备Exer中定义的拓扑$\mathscr{T}$。 13 a) GT，IX, §2；让$\varphi$是$E$的映射$x \mapsto |x|$到$I = [0, 1]$（配备由$\mathbf{R}$的拓扑诱导）。

a) 证明$\varphi$是连续的，并且用形式$\varphi^{-1}(A)$的$E$的子集的$\mathscr{F}$集合表示，其中$A$是$I$的Borel，子集的Borel $E$的子集是子集$B$，因此存在一个$M \in \mathscr{F}$，其中$B \cap \mathbf{C}M$和$M \cap \mathbf{C}B$是可数的（观察$E$属于的每个开集合到$\mathscr{F}$）。

b) 证明对于$E$ 上定义的数值函数 $f$ 是连续的（对于$\mathscr{T}$），对其进行调节是必要且充分的，并且对于每个$x \in E$ $f(x-) = f((-x)+)$。因此，定义是$\mu$在$E$到设定$\int f\, d\mu = \int_0^1 f(x)\, dx$的积极措施。证明$\varphi$下$\mu$的像是$I$上的勒贝格测度，$\mu$可忽略的集合对于$[ -1, +1 ]$上的勒贝格测度来说子集可以忽略不计。

c) 从a)和b)推出，对于$E$中的$\mu$可测量等价关系$\varphi(x) = \varphi(y)$，不存在$\mu$可测量截面。