习题 24, § 1

a) 在$\mathbf{R}$中，令$A$（或$B$）为数$x$的集合，其真二进展开$x = x_0 + \sum_{i=1}^\infty x_i 2^{-i}$（$x_0$整数，$x_i = 0$或$x_i = 1$对于$i \geq 1$）是这样的，$x_i = 0$对于$i$偶数和$> 0$（或$i$奇数）。证明，对于勒贝格测度，$A$ 和 $B$ 的测度为零，但有 $A + B = \mathbf{R}$。

b) 从a)推导出$A \cup B$中包含$\mathbf{R}$（超过$\mathbf{Q}$）的基$H$，因此测度为零。 数 $rh$的集合$P_1$，其中$r \in \mathbf{Q}$和$h \in H$，也是零的度量。

c) 用实数中最多$n$的$P_n$集合表示，其相对于基$H$的坐标为非零的。证明如果 $P_n$ 可以忽略不计且 $P_{n+1}$ 可测量，则 $P_{n+1}$ 可以忽略不计。 （让$h_0 \in H$；首先证明$x \in P_{n+1}$的集合$S$相对于$h_0$的坐标为$\neq 0$，可以忽略不计。使用Exer.20，表明如果$P_{n+1}$不可忽略，则将存在两个不同的点 $P_{n+1} \cap \mathbf{C}S$的$x', x''$使得$(x' - x'')/h_0$是有理数，并由此推出矛盾。）

d) 从a)和b)推论$\mathbf{R}$中存在两个可忽略的集合$C, D$，使得$C + D$不可测。