习题 29, § 1

标签 09EW，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 09EW]。

积分, VII, p. 87

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

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a) 设 $p$ 为素数数；存在两个整数 $a, b$ 使得 $a^2 + b^2 + 1 \equiv 0 \pmod{p}$ （*Alg.*，Ch.V，第1版，§11, No. 5，Th.3的Cor.）。证明存在整数 $x_1, x_2, x_3, x_4$ ，并非所有零都满足 $ax_1 + bx_2 \equiv x_3 \pmod{p}$ 、 $bx_1 - ax_2 \equiv x_4 \pmod{p}$ 和

y = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2 \leq \sqrt{2} p

（与Exer.28 c）中的方法相同）。证明

y

能被

p

整除，并由此推导出

y = p

。

b) 从 a) 中推导出，每个整数 $n \geq 0$ 都是 4 个平方中的和（*拉格朗日的定理*；利用 Alg.，Ch. IV，第 1 版，§2，Exer. 11）。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

无。