习题 7, § 2

a) 设$E$为局部紧致空间，$\Gamma$为局部紧致群，在$E$中连续向左运算。假设对于每个$x \in E$，$\Gamma$到$E$的映射$s \mapsto s \cdot x$是适当的，并且在$\Gamma$下存在$E$不变的非零的有界正测度$\mu$。那么 $\Gamma$ 是紧致的。 （令$(s_n)$为$\Gamma$的点的序列。令$K$为$E$的紧子集，且$\mu$不可忽略。使用第IV, §4章的Exer.15证明，有存在一个$x_0 \in E$，使得$s_n x_0 \in K$为$n$的无限多个值。由此推断$(s_n)$在$\Gamma$中有一个簇点。然后应用GT的Exer 6，II, §4。）

b) 令$G$为群、$H$和$K$两个$G$的闭子群。假设 $G$ 和 $H$ 是幺模的，并且 $G/H$ 对于 $G$ 下的测度不变量具有有限测度。证明对于 $H$ 和 $K$ 到满足，相当于 Exer 的条件。 GT 的 11 c)，III, §4，$K$ 是紧致的充分必要。