习题 10, § 3

对于局部紧凑空间 T，1 用 $\mathscr{C}^\infty(T)$ 表示 T 上连续有界数值函数的 Banach 空间。 如果对于每个$\varepsilon > 0$，存在一个紧凑的T 的子集 K，使得$|\mu|(T - K) \leq \varepsilon$ 对于所有$\mu \in H$，则称$\mathscr{M}^1(T)$ 的子集 H 是局促的。

a) 证明如果 $\mathscr{M}^1(G)$ 的子集 H 是狭窄的，并且以 $\mathscr{M}^1(T)$ 的范数定义的拓扑为界，那么对于拓扑 $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{C}^\infty(T))$ 来说它是相对紧凑的（观察到 $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{K}(T))$ 的 H 是相对紧凑的）。

b) 假设在加法中 T 是仿紧的，反之，如果 H 是 $\mathscr{M}^1(T)$ 的子集对于 $\sigma(\mathscr{M}^1(T), \mathscr{C}^\infty(T))$ 相对紧，则 H 有界于 $\mathscr{M}^1(T)$ 的范数并且是局促的。 （首先考虑Ch. V, §5的$T = \mathbf{N}$，应用 Exer. 15的情况。然后考虑T在无穷大可数的情况，相对紧开的集合的序列$(U_n)$并使得$\overline{U}_n \subset U_{n+1}$。通过反证法，表明可以将约化应用于这样的情况，即对于每个 n 存在一个在 T 上定义的连续数值函数 $f_n$，并包含在 $U_{n+1} - \overline{U}_n$ 中的支持，使得 $\|f_n\| \leq 1$ 和序列 $(\mu_n)$ 测量属于到 H，其中 $\mu_n(f_n) \geq a > 0$ 对于所有 n。然后考虑连续的映射$u : L^1(\mathbf{N}) \to \mathscr{C}^\infty(T)$使得$u((\xi_n)) = \sum_{n=0}^\infty \xi_n f_n$并通过考虑u的转置获得与$T = \mathbf{N}$的证明的矛盾最后，当T是任意仿紧局部紧空间时，T是局部紧致族$(T_\alpha)$的拓扑和。 空间在无穷大处可数；对于每个 $\alpha$，让 $m_\alpha = \sup_{\mu \in H} |\mu|(T_\alpha)$；通过矛盾论证并利用前面的情况，证明必然是 $m_\alpha = 0$，除了可数无穷大指标 $\alpha$。）

c) 证明 b) 的结论对于 Exer 中定义的非仿紧局部紧空间无效。第 16 章 h) IV, §4。