习题 16, § 1

设$\mathfrak{g}$为李代数，且$\mathfrak{g}$的推导为$\mathfrak{D}$李代数。 $\mathfrak{D}$ 定义的恒等映射 $\mathfrak{D}$ 的半直接乘积 $\mathfrak{h}$ 被$\mathfrak{g}$ 称为$\mathfrak{g}$ 的全纯态。 $\mathfrak{g}$ 与理想相一致，$\mathfrak{D}$ 与子代数 $\mathfrak{h}$ 相一致。

(a) 证明$\mathfrak{h}$中$\mathfrak{g}$的扶正器$\mathfrak{g}^*$是$\operatorname{ad}_g x - x(x \in \mathfrak{g})$的集合。

(b) 对于 $\mathfrak{h}$ ($x \in \mathfrak{g}$, $d \in \mathfrak{D}$) 中的每个元素 $x + d$，我们写

证明$\theta$是阶2的$\mathfrak{h}$的自同构，其中映射$\mathfrak{g}$到$\mathfrak{g}^*$上，所以$\mathfrak{h}$可以被认为是$\mathfrak{g}^*$的全胚。

(c) 对于$\mathfrak{h}$、$\mathfrak{k} \cap (\mathfrak{g} + \mathfrak{g}^*) \neq \{0\}$ 的每个理想$\mathfrak{k} \neq \{0\}$。 （如果$\mathfrak{k} \cap \mathfrak{g} = \{0\}$，$\mathfrak{k} \subset \mathfrak{g}^*$。）

(d) 如果$\mathfrak{g}$是可交换的，$\mathfrak{h}$包含$\mathfrak{g}$的每个理想$\mathfrak{k} \neq \{0\}$。如果$K$是域且$\dim_K \mathfrak{g} < +\infty$，则推论，如果$\mathfrak{k} \neq \mathfrak{g}$，则$\mathfrak{h}$不能是$\mathfrak{k}$的全胚（使用（b））。