习题 18, § 1

令$\mathfrak{g}$为$\mathfrak{g}$和$B = [Z, Y]$上的复希尔伯特空间、$Y$和$Z$连续厄米特算子。假设 $Y$ 和 $B$ 是可置换的。

(a) 证明$[Z, Y^n] = n B Y^{n-1}$（由归纳对$n$论证）。

(b) 令 $f$ 为实变量的连续可微函数。从 (a) 推出 $[Z, f(Y)] = B f'(Y)$。

(c) 从 (b) 推出 $B = 0$。 （表明，如果$B \neq 0$，可以选择$f$，使得$\|f(Y)\| \leq 1$和$\|B f'(Y)\|$任意大。）

(d) 设$g$为$\mathfrak{g}$上连续算子$T$的李代数，使得$T^* = -T$。从(c)推导出条件$Y \in g, Z \in g, [[Z, Y], Y] = 0$暗示$[Z, Y] = 0$。