习题 19, § 1

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李群与李代数, I, 77

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(a) 设 $L$ 是 $K$ 上的结合律代数。给定 $L$ 的 $k$ 元素 $x_1, \ldots, x_k$ ，我们写：

f_k(x_1, \ldots, x_k) = \sum_{\sigma \in S_k} x_{\sigma(1)} \cdots x_{\sigma(k)}.

在代数 $L \otimes_K K[T_1, \ldots, T_k]$ 中， $T_i$ 不定， $f_k(x_1, \ldots, x_k)$ 是 $T_1 \ldots T_k$ 在 $(x_1 T_1 + \cdots + x_k T_k)^k$ 中的系数；它也是 $T_1 \ldots T_k$ 的系数：

\sum_{j=0}^{k-1} (x_1 T_1 + \cdots + x_{k-1} T_{k-1})^j x_k T_k (x_1 T_1 + \cdots + x_{k-1} T_{k-1})^{k-j-1}.

给定 $L$ 中的两个元素 $x, y$ ，我们将定义 $g_{i, k-i}(x, y)$ 作为 $(x T_1 + y T_2)^k$ 中 $T_1^i T_2^{k-i}$ 的系数。表明

i! (k-i)! g_{i, k-i}(x, y) = f_k(t_1, \ldots, t_k)

其中 $t_h = x$ 代表 $h \leq i$ ， $t_h = y$ 代表 $h \geq i+1$ 。

(b) 如果 $L$ 被视为李代数超过 $K$ ，则在 $\mathscr{L}_K(L)$ 中：

(\mathrm{ad}\ x)^n = \sum_{i=0}^n (-1)^{n-i} \binom{n}{i} L_x^i R_x^{n-i},

其中 $L_x$ （分别为 $R_x$ ）为乘法 $y \mapsto xy$ （分别为 $y \mapsto yx$ ）。

推论，如果 $K$ 具有特征 $p$ （ $p$ 素的），则：

(1)

(\mathrm{ad}\ x)^p . y = (\mathrm{ad}\ x^p) . y

(2)

(\mathrm{ad}\ x)^{p-1} . y = \sum_{i=0}^{p-1} x^i y x^{p-1-i}.

由(2) 推出：

f_{p-1}(\operatorname{ad} x_1, \ldots, \operatorname{ad} x_{p-1}) \cdot y = f_p(x_1, \ldots, x_{p-1}, y)

以及：

g_{i, p-1-i}(\operatorname{ad} x, \operatorname{ad} y) \cdot y = (p - i) g_{i, p-i}(x, y).

结论对于 $L$ 中的任意两个元素 $x, y$ ：

(3)

(x + y)^p = x^p + y^p + \Lambda_p(x, y)

其中：

\Lambda_p(x, y) = \sum_{i=1}^{p-1} (p - i)^{-1} g_{i, p-1-i}(\operatorname{ad} x, \operatorname{ad} y) \cdot y

属于到 $x$ 和 $y$ 生成的 $L$ 的谎言子代数（“雅各布森的公式”）。

解答

尚未写出解答。

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