习题 21, § 1

(a) 令$K$是特征$p > 0$的域，并且$L$与$K$不一定关联代数。证明 $L$ 形式的推导是具有 $p$ 映射 $D \mapsto D^p$ 的李子 $p$ 代数。

(b) 设$L$为代数$K[X]/(X^p)$，且$w$为$L$的推导的$p$代数。令$D_i$ ($0 \leq i \leq p-1$) 表示$L$ 的推导，使得$D_i(X) = X^i$。证明$w$超过$K$的$D_i$形式基，并且$i + j \leq p$则$[D_i, D_j] = (j - i)D_{i+j-1}$，$i + j > p$则$[D_i, D_j] = 0$，以及$D_i^p = 0$，$i = 1$除外，其中案例$D_1^p = D_1$。

(c) 证明，如果$p \geq 3$，李代数 $w$ 只承认理想$\{0\}$ 和$w$。 （使用$D_i$的乘法表，证明$w$包含的每个非零理想都是$D_{p-1}$的非零倍数。）

(d) 设$V_k$为$w$的子空间，基为指标$\geq k$的$D_i$。证明，如果$p \geqslant 5$，$V_k$与$Z \in w$的集合相同，其扶正器为维数$\geqslant k + 1$。推出，如果$p \geqslant 5$，则$w$的自同构群可解。