习题 22, § 1

令$g$是特征$p$（$p$素的）的环$K$上的李$p$群。让$x \mapsto x^p$表示$p$映射。对于$g$的每个子集$E$，让$E^p$表示由$x^p$生成的$g$的子模，其中$x \in E$。如果 $a^p \subset a$，理想的 $a \subset g$ 称为$p$理想。

(a) 对于一个理想 $a \subset g$ 是一个 $p$ 理想，它是 $p$ 同态 (习题 20) 的核是充分必要的。

(b) 两个$p$理想中的和是一个$p$理想。 $p$-理想和$p$-子代数的和是$p$-子代数。

(c) 设$h$为$g$的谎言子代数。 最小的谎言$p$-子代数包含$h$是$h + h^p + h^{p^2} + \cdots = \overline{h}$；如果我们写$h_i = h + h^p + \cdots + h^{p^i}$，$h_i$是$\overline{h}$的理想，而$\overline{h}/h$是可交换的。如果$h$是$g$的理想，那么$h_i$和$\overline{h}$也是最小的$p$-理想的包含$h$。

(d) $g$的任意子模的归一化器和集中化器是$p$-$g$的子代数。