习题 23, § 1

令$g$是特征$p > 0$的完美域$K$上的有限维交换李$p$代数。

(a) 证明 $g$ 是两个 $p$-子代数 $h, t$ 的唯一方式直和，使得在 $h$ 上，$p$ 映射是双射的，在 $t$ 上它是幂零的（考虑 $p$ 映射的迭代） $g$；cf.代数、章VIII, § 2, no. 2、引理2 和章VII, § 5、习题20 (a))。 $h$称为$g$的$p$核心。

(b) 假设 $K$ 是代数闭的。 证明存在$h$的基$(e_i)$，使得对于所有$i$存在$e_i^p = e_i$（考虑由单个元素生成的$h$的$p$子代数，并证明它包含一些$x$使得$x^p = x \neq 0$；然后在$h$的维数上争论归纳）。 推出$h$的$p$-子代数在数中是有限的，并且在$e_i$生成的素数域$\mathbf{F}_p$上与向量空间的向量子空间一对一对应。

(c) 证明存在$t$的基$(f_{ij})$（$1 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant s_i$对于所有$i$），其中$s_i$的序列是递减，并且$f_{1j}^p = 0$对于$1 \leqslant j \leqslant s_1, f_{1j}^p = f_{i-1,j}$对于$2 \leqslant i \leqslant k, 1 \leqslant j \leqslant s_i$ （代数、章、VII, § 5、习题 20 (b) 中的方法）。