习题 24, § 1

令 $K$ 为（任意）特征 $p$ 和 $X_i, Y_i, Z_i$ $3n$ 不同的不定式的（可交换）域；为了缩写，我们将分别用$\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$表示系统$(X_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}, (Y_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}, (Z_i)_{1 \leqslant i \leqslant n}$。设$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$为$3n$不定式$X_i, Y_i, Z_i$中形式幂级数的代数，系数在$K$中；我们将用幂级数的$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$（或$A_{\mathbf{x}}$）子代数（或$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$由……组成）来表示，而不是包含$\mathbf{z}$（或$\mathbf{y}, \mathbf{z}$）。 $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$（或$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}, A_{\mathbf{x}}$）中的元素将由$u(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$（或$u(\mathbf{x}, \mathbf{y}), u(\mathbf{x})$）表示；

$n$ 元素 $A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$ 的系统 $(u_i(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}))_{1 \leq i \leq n}$ 将被表示为$u(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z})$；类似的记号将用于正式的幂级数包含仅三个系统$\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$中的一两个。如果$u(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}) \in A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$和$\mathbf{f} = (f_i), \mathbf{g} = (g_i), \mathbf{h} = (h_i)$是$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$的$n$元素中的三个系统，它们是形式幂级数，没有常数项，我们用$u(\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), \mathbf{g}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}), \mathbf{h}(\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}))$表示形式幂将$u$中的$X_i$替换为$f_i$、将$Y_i$替换为$g_i$、将$Z_i$（$1 \leq i \leq n$）替换为$h_i$而得到级数。对于 $n$ 整数 $\geq 0$ 中的每个系统 $\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$，令 $\mathbf{x}^\alpha$ 表示单项式 $X_1^{\alpha_1} \ldots X_n^{\alpha_n}$； $\mathbf{y}^\alpha$ 和 $\mathbf{z}^\alpha$ 的定义类似。让$\varepsilon_i$表示系统$\alpha$，其中$\alpha_j = 0$如果$j \neq i$，$\alpha_i = 1$。我们用$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}}$的$n$元素的$\mathbf{e}$系统$(0, \ldots, 0)$来表示。

(a) 维数 $n$ 的正式群运算超过$K$（或滥用语言，正式群超过$K$）是系统$G = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y})$$n$元素$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$，以下性质： (1) $\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{f}(\mathbf{y}, \mathbf{z})) = \mathbf{f}(\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y}), \mathbf{z})$； (2)$\mathbf{f}(\mathbf{e}, \mathbf{y}) = \mathbf{y}$、$\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{e}) = \mathbf{x}$。 证明必然有$f_i(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = X_i + Y_i + g_i(\mathbf{x}, \mathbf{y})$，其中$g_i$包含只有次数$\geq 2$的单项式，其中每个包含至少有一个$X_j$和至少一个$Y_j$。 证明 $n$ 元素和 $A_{\mathbf{x}}$ 中存在且仅有一个系统 $\mathbf{h}(\mathbf{x})$ 使得 $\mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{h}(\mathbf{x})) = \mathbf{f}(\mathbf{h}(\mathbf{x}), \mathbf{x}) = \mathbf{e}$ (代数, 章 IV, § 5, no. 9, 命题 10)。如果$\mathbf{f}(\mathbf{y}, \mathbf{x}) = \mathbf{f}(\mathbf{x}, \mathbf{y})$，$G$ 被称为*可交换的*。

(b) 对于所有$u \in A_{\mathbf{x}}$，让$L_y u$表示$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$的元素$u(\mathbf{f}(\mathbf{y}, \mathbf{x}))$。 $A_{\mathbf{x}}$的推导$D$可以规范地扩展到$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$的推导（也通过滥用记号表示为$D$）通过条件，对于所有$i$，$D(Y_i) = 0$ （*代数*、章IV, § 5, no. 8、命题6）。如果$L_y D = D L_y$，则对于所讨论的正式群$G$来说，$D$被认为是“左不变”。我们用$A_{\mathbf{x}, \mathbf{y}}$的$D^{(\mathbf{e})}$线性映射表示为由$D^{(\mathbf{e})}(u) = (D u)(\mathbf{e}, \mathbf{y})$定义的$A_{\mathbf{y}}$；它映射$A_{\mathbf{x}}$转化为$K$，并由其限制$A_{\mathbf{x}}$确定。证明，要使 $D$ 保持不变，对于所有 $v \in A_{\mathbf{x}}$，$D^{(\mathbf{e})}(L_y v) = (D v)(\mathbf{y})$ 是充分必要的。

设$D_i$为$A_{\mathbf{x}}$($1 \leq i \leq n$)的推导$\partial / \partial X_i$；存在且仅有一个左不变量推导$T_i$使得$T_i^{(\mathbf{e})} = D_i^{(\mathbf{e})}$。证明 $T_i$ 在 $K$ 上线性无关，并且每个左不变量推导都是 $T_i$ 的线性组合，系数在 $K$ 中。推出，对于括号$[D, D']$和$p$映射$D \mapsto D^p$（当$p > 0$时），左不变量推导的集合$g$是一个*李代数*（一个*李p代数*如果$p > 0$）称为正式李群* $G$的*李代数。

(c) 证明对于每个正式的幂级数 $u \in A_{\mathbf{x}}$：

其中级数$o_2$中的所有单项式都是$Y_j$中的次数$\geq 2$。推断出

其中级数$o_3$中所有单项式都是次数$\geq 3$、集合、$Y_i$和$Z_i$。推出：

其中 $o'_3$ 中的所有项总计为次数 $\geq 3$。证明，如果 G 是可交换的，则 g 是可交换的。

(d) 令$G'$为另一个形式群，其维数米，其群运算为$f'$。 G 到 $G'$ 的正式同态是 $A_x$ 的元素的系统 $F = (F_j(x))_{1 \leq j \leq m}$，使得 $f'(F(x), F(y)) = F(f(x, y))$。对于每个左不变量推导$D \in g$，证明$v \mapsto D(v \circ F)$是$G'$的左不变量推导属于到李代数$g'$。如果用$F^*(D)$表示，$F^*$就是$g$到$g'$的同态（$p > 0$的$p$同态）。如果$(T_i)_{1 \leq i \leq n}$、$(T'_j)_{1 \leq j \leq m}$是$g$和$g'$的基，使得$T_i^{(e)} = D_i^{(e)}$和$T_{j'}^{(e)} = D_{j'}^{(e)}$，则表明$F^*$相对于这些基的矩阵是矩阵 $(\partial F_j / \partial X_i)_0$（$\partial F_j / \partial X_i$的常数项，其中i是行的指标，j是列的行）。