习题 25, § 1

域 K 上 n 个变量的形式线性群，用 $\mathbf{GL}(n, K)$ 表示（当不会出现混淆时），是维数 $n^2$ 的形式群

其群运算由$f_{ij}(u, v) = -\delta_{ij} + \sum_{k=1}^n (\delta_{ik} + U_{ik})(\delta_{kj} + V_{kj})$定义（$\delta_{ij}$克罗内克指标；习题24的一般定义的$3n^2$不定式在这里用$U_{ij}, V_{ij}, W_{ij}$表示，其中2个指标从1到n变化）。证明，如果 $D_{ij} = \partial / \partial U_{ij}$，左不变量推导 $X_{ij}$ 使得 $X_{ij}^{(e)} = D_{ij}^{(e)}$ 由下式给出

通过将$X_{ij}$与典范基的元素$E_{ij}$进行识别，将$\mathbf{GL}(n, K)$的李代数与$\mathfrak{gl}(n, K)$进行识别（使用习题24的公式（3））。如果 K 对于 $i \neq j$ 具有特征 $p > 0$、$X_{ii}^p = X_{ii}$ 和 $X_{ij}^p = 0$。