习题 26, § 1

(a) 令 K 为特征 $\neq 2$ 的域，E 为 K 上的 n 维向量空间，$\Phi$ 为 E 上的非简并对称双线性形式。假设 E 具有关于 $\Phi$ 的正交基，并令 R 表示（对角的）就这个基而言，$\Phi$的矩阵。我们知道 (代数, 章 IX, § 4, 习题 11) 正交群 $\mathbf{G}(\Phi)$ 的每个矩阵（相对于所讨论的基）$U$ 使得$\det(I + U) \neq 0$ 可以写成

其中$S = R(U - I)(U + I)^{-1}$是交错的矩阵使得$\det(I - R^{-1}S) \neq 0$；相反，对于每个矩阵$S$满足这些条件，$U = (I - R^{-1}S)^{-1}(I + R^{-1}S)$是$\mathbf{G}(\Phi)$的矩阵，使得$\det(I + U) \neq 0$。令 $S_{ij}, S'_{ij}, S''_{ij}$ 为 $3n(n-1)/2$ 不确定 $(1 \leq i < j \leq n)$，令 L 为形式幂级数 K[[S_{ij}, S'_{ij}, S''_{ij}]] 的域包含环。如果我们用 S, S', S'' 矩阵表示

那么 det(I - R^{-1}S) \neq 0 并且 S' 和 S'' 的类似物成立；如果我们写

然后也 det(I + UU') \neq 0。我们写

形式幂级数 K[[S_{ij}, S'_{ij}]] 的 f_{ij}(S, S') 属于到环，并且通过将 F(S, S') 视为形式幂级数，系数为代数阶 n 的矩阵在 K 上，我们可以写：

其中矩阵 o_2(S, S') 项中的元素都是 S_{ij} 中的次数 \geq 1 和 S'_{ij} 中的次数 \geq 1；那么类似地：

o'_2(S) 的元素为形式幂级数为阶 \geq 2. 证明 F(S, S') 是维数 n(n - 1)/2 的 K 上的形式群运算；这个形式群被称为*形式正交群*（相应的到\Phi）并通过滥用记号表示为G(\Phi)。

(b) 如果我们将 M(S) = (m_{ij}(S)) = (I - R^{-1}S)^{-1}(I + R^{-1}S) 写成 GL(n, K)，则 M 是 G(\Phi) 的形式同态。令 \mathfrak{o}(\Phi) 为 G(\Phi) 的李代数，并令 (T_{ij})_{i < j} 表示此代数的基，使得 T^{(e)}_{ij} = D^{(e)}_{ij} (cf. 习题 24 (d));若 \mathfrak{o}(\Phi) 的元素 D = \和_{i < j} c_{ij} T_{ij} 与矩阵 $D = \sum_{i < j} c_{ij}(E_{ij} - E_{ji})$ 辨识，则证明 (在习题 24 (d) 的记号中，并在习题中辨识) GL(n, K) 与 gl(n, K)) 的李代数的 25：

推导出 M* 是 \mathfrak{o}(\Phi) 的同构到 gl(n, K) 的子代数矩阵 X 的由……组成，使得 ^tXR + RX = 0 （对于每个有序对 (a, b) E 的元素，用矩阵和 1 个列来识别，将 \Phi(a + M(S).a, b + M(S).b) = ^ta.(I + ^tM(S))R(I + M(S)).b 视为正式的幂级数减少到其常数项并使用 X \in gl(n, K) 中的子代数使得 ^tXR + RX = 0 为维数 n(n - 1)/2)。

(c) 定义类似地，在任意（可交换）域上的 2n 个变量中的*形式辛群*，并表明其李代数与$\mathfrak{gl}(2n, \mathbf{K})$ 的子代数矩阵的由……组成相同$X$ 这样