习题 3, § 3

令 V 为有限维向量空间超过完美域 K。 (a) $gl(V)$ 定义的身份表示 $\bigotimes^p V$ 和$\bigotimes^q V^*$ 上$gl(V)$ 的表示规范，因此$gl(V)$ 的表示 $u \mapsto u_q^p$

如果 $u$ 是，则证明 $u_q^p$ 是半单。 （约化，通过扩展基域，到$K$代数闭的情况。）证明如果$u$是幂零的，则$u_q^p$是幂零的。推出，如果$s$和$n$是半单和$u$的幂零分量，则$s_q^p$和$n_q^p$是半单和$u_q^p$的幂零分量。

(b) 由(a)推导出，如果$V_q^p$的元素被$u_q^p$湮没，那么它就会被$s_q^p$和$n_q^p$湮灭。

(c) 由(b)和习题 2 推导出，如果V 具有不一定结合的代数结构，并且u 是V 的推导，则s 和n 是V 的推导。