习题 6, § 3

假设 K 为域。令$g$为K-代数、$g$的$x \mapsto x_M$有限维表示、M的$(e_1, \ldots, e_n)$基和$(e_1^*, \ldots, e_n^*)$对偶基。

(a) 如果$f$在$\bigotimes^r M$上是线性形式，则：

(b) 令$\beta$为M上的非简并双线性形式，其在$g$下不变。令$(e'_1, \ldots, e'_n)$为M的基，使得$\beta(e_i, e_j') = \delta_{ij}$。令 $f$ 为 $\bigotimes^r M$ 上的不变量线性形式。由 (a) 推出

是$\bigotimes^r M$的不变量元素独立于基$(e_i)$的选择。

(c) 令U为$g$的包络代数和U的对偶空间$U^*$。$g$的伴随表示可以扩展到U上$g$的表示$x \mapsto x_U$，定义为$x_U u = xu - ux$ 对于所有$u \in U$。因此 $U^*$ 具有 $g$ 模块结构。为了使$U^*$的元素$f$保持不变，$f(uv) = f(vu)$对于U中的所有$u, v$是充分必要的。

(d) 令$h$为$g$和$\gamma$不变双线性形式在$g$上的有限维理想，其中限制到$h$是非简并的。令$(y_i)_{1 \leq i \leq n}, (y'_j)_{1 \leq j \leq n}$为$h$的两个基，使得$\gamma(y_i, y'_j) = \delta_{ij}$。设 r 为整数 $\geq 1$。令 $f$ 为 U 上的线性形式，使得 $f(uv) = f(vu)$ 对于 U 中的所有 $u, v$。从 (b) 和 (c) 推出

U的中心元素独立于基$(y_i)$选择。特别是回收卡西米尔元素。

(e) 设$\theta$为$\{1, \ldots, r\}$中的置换。类似地论证，证明

U的中心元素独立于基$(y_i)$选择。