习题 11, § 4

令L为交换环，将L上的左阿廷的代数和$A \times A$的$\gamma$映射变成L。 A 上的定义是合成$(a, b) \mapsto a * b = ab + \gamma(a, b)ba$的内部律。对于 A 的每个子集 E，令 $\tilde{E}$ 表示由 E 生成的 A 的子环（没有单位元）。证明，如果 E 由幂零元组成并且在律 * 下稳定，则 $\tilde{E}$ 幂零（即存在 $n > 0$ 使得$\tilde{E}^n = \{0\}$）。请按如下方式进行：

1. 首先假设A是一个简单的环，因此与$\mathscr{L}_D(T)$同构的，其中T是有限维m在域D上的左向量空间。通过归纳对m进行论证。令 $\Phi$ 为子集 F $\subset$ E 的集合，其在 \* 下稳定，且 $\tilde{F}$ 幂零。表明 $\Phi$ 承认极大元素 M（注 $\tilde{F}^m = \{0\}$ 对于所有 $F \in \Phi$）。假设$\tilde{M} \neq \tilde{E}$。证明对于所有$t \in M$，存在$a \in E$使得$a \notin \tilde{M}$和$t * a \in \tilde{M}$（注意不可能有无限的序列$(a_n)$使得$a_n \in E$，$a_n \notin M$，$a_n = t_{n-1} * a_{n-1}$和$t_{n-1} \in M$）。设S为$u(T)$的T直和和$u \in \tilde{M}$的子空间；显示 $S \neq \{0\}$ 和 $S \neq T$ 以及 $a(S) \subset S$。令 N 为 $v \in E$ 的集合，使得 $v(S) \subset S$。通过使用归纳假设，并将N的元素视为对S和T/S的操作，证明$N \in \Phi$，这意味着矛盾。

2. 在一般情况下，利用 A 的雅各布森根是幂零的事实。从此结果推导出恩格尔的定理的新证明。