习题 12, § 4

令g为$\mathscr{C}^g g$的李代数和$\mathscr{C}^\infty g$交。 (a) 李代数 $g / \mathscr{C}^\infty g$ 幂零。 (b) 证明存在 $g$ 的幂零子代数 $h$ 使得 $g = h + \mathscr{C}^\infty g$。 （通过归纳对$\dim g$进行论证。假设$g$不是幂零的。令$x \in g$使得$I = \bigcap_k (\mathrm{ad}\, x)^k(g) \neq \{0\}$。令$n$为$(\mathrm{ad}\, x)^k$的核的并。证明这是子代数 $g$，$g$是I和$n$的直和。到归纳假设$n$是$\mathscr{C}^\infty n$的和和幂零子代数$h$。 $\mathscr{C}^\infty n \subset \mathscr{C}^\infty g$ 和 $I \subset \mathscr{C}^\infty g$。

(c) 验证以下乘法表定义 a（可解）李代数 $g$ of 维数 5：

其他$[x_i, x_j]$是零。显示对于这个李代数

但$g$中不存在$\mathscr{C}^\infty g$的补充子代数。