Bourbaki

习题 18, § 4

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李群与李代数, I, 95

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 g 为 K 上的 7 维向量空间，其中基 (ei)1≤i≤7(e_i)_{1 \leq i \leq 7}。 交错的括号由公式在 g 上定义：

(1)

[ei,ej]=αijei+j(1≤i<j≤7,i+j≤7) [e_i, e_j] = \alpha_{ij} e_{i+j} \quad (1 \leq i < j \leq 7, i + j \leq 7)
并且所有其他括号 [ei,ej][e_i, e_j] 对于 i<ji < j 都是零。

(a) 为了保持雅可比恒等式，有必要且充分：

(2)

−α23α15+α13α24=0 -\alpha_{23}\alpha_{15} + \alpha_{13}\alpha_{24} = 0
(3)
α12α34−α24α16+α14α25=0. \alpha_{12}\alpha_{34} - \alpha_{24}\alpha_{16} + \alpha_{14}\alpha_{25} = 0.

(b) 假设从此以后所有αij\alpha_{ij} 都是≠0\neq 0。证明理想C2g,C3g,C4g,C5g,C6g\mathscr{C}^2g, \mathscr{C}^3g, \mathscr{C}^4g, \mathscr{C}^5g, \mathscr{C}^6g承认以下基：(e3,e4,e5,e6,e7)(e_3, e_4, e_5, e_6, e_7)、(e4,e5,e6,e7)(e_4, e_5, e_6, e_7)、(e5,e6,e7)(e_5, e_6, e_7)、(e6,e7)(e_6, e_7)、(e7)(e_7)。证明C6g\mathscr{C}^6g的扶正器hh承认基(e2,e3,e4,e5,e6,e7)(e_2, e_3, e_4, e_5, e_6, e_7)。

(c) 设(ei′)1≤i≤7(e'_i)_{1 \leq i \leq 7}为g的另一个基，使得C6g\mathscr{C}^6g承认基(e7′)(e'_7)，C5g\mathscr{C}^5g承认基(e6′,e7′)(e'_6, e'_7)，…\ldots，hh承认基(e2′,e3′,e4′,e5′,e6′,e7′)(e'_2, e'_3, e'_4, e'_5, e'_6, e'_7)。表明

[ei′,ej′]=αij′ei+j′+βei+j+1′+γei+j+2′+⋯+λe7′, [e'_i, e'_j] = \alpha'_{ij} e'_{i+j} + \beta e'_{i+j+1} + \gamma e'_{i+j+2} + \cdots + \lambda e'_7,
哪里
α14′α25′α16′−1α24′−1=α14α25α16−1α24−1. \alpha'_{14}\alpha'_{25}{\alpha'_{16}}^{-1}{\alpha'_{24}}^{-1} = \alpha_{14}\alpha_{25}\alpha_{16}^{-1}\alpha_{24}^{-1}.

(d) 推出，如果 K 是无穷大，则存在无穷多个维数 7 的非同构幂零李代数，并且存在复数幂零李代数，其中不能是通过将基域从R\mathbf{R}延伸到C\mathbf{C}而从实数幂零李代数导出的。

解答

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