习题 19, § 4

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李群与李代数, I, 95

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(a) 令 g 为李代数。令 $\mathfrak{D}$ 为g的推导的李代数。 g 的特征理想 $g^{[k]}$ 归纳定义如下： $g^{[0]} = g$ 和 $g^{[k+1]}$ 是由 Dx ( $D \in \mathfrak{D}, x \in g^{[k]}$ ) 生成的 g 的子空间。以下条件是等价的： (1) g的每一个推导都是幂零的； (2) $g^{[k]} = \{0\}$ 对于 k 足够大； (3) g 的全纯态是幂零的。如果满足，则 g 被称为“特征幂零”。这样的代数是幂零的。

(b) 验证 8 维李代数由以下乘法表定义：

[x_1, x_2] = x_3,\quad [x_1, x_3] = x_4,\quad [x_1, x_4] = x_5,\quad [x_1, x_5] = x_6 \\ [x_1, x_6] = x_8,\quad [x_1, x_7] = x_8,\quad [x_2, x_3] = x_5,\quad [x_2, x_4] = x_6 \\ [x_2, x_5] = x_7,\quad [x_2, x_6] = 2x_8,\quad [x_3, x_4] = -x_7 + x_8,\quad [x_3, x_5] = -x_8

$[x_i, x_j] = 0$ 代表 $i + j > 8$ 。表明

\mathscr{C}^2g = \sum_{i=3}^8 Kx_i,\quad \mathscr{C}^3g = \sum_{i=4}^8 Kx_i,\quad \mathscr{C}^4g = \sum_{i=5}^8 Kx_i,\quad \mathscr{C}^5g = \sum_{i=6}^8 Kx_i,

\mathscr{C}^6g = Kx_8,\quad \mathscr{C}^7g = \{0\},\quad [\mathscr{C}^2g, \mathscr{C}^2g] = Kx_7 + Kx_8,

并且 $\mathscr{C}^2g$ 到 $\mathscr{C}^4g$ 的传输者是 $\sum_{i=2}^8 Kx_i$ 。推论g 的每个推导 D 都由公式 $Dx_i = \sum_{j=1}^8 u_{ij}x_j$ 定义。然后证明，如果 K 的特征不同于 2，则对于所有 i 都有 $u_{ii} = 0$ ，因此 g 是特征幂零的。

(c) 如果 K 的特征为 $\neq 2$ ，则证明 (b) 的李代数 g 不是任何李代数的导出李代数。（如果 $g = \mathscr{D}\mathfrak{h}$ ，首先证明 $\mathfrak{h}$ 是幂零的。观察 $\dim g/\mathscr{D}g = 2$ ，它与习题 7 (c) 导致矛盾。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

无。

引用了

Exercise 7