习题 21, § 4

令$g$为李代数，且$\sigma$为$g$的自同构。 (a) 首先假设$K$是代数闭的；对于所有$\lambda \in K$，令$L_\lambda$为$x \in g$的集合，并被$\sigma - \lambda I$的幂湮灭； $g$ 是$L_\lambda$ 的直和。证明$[L_\lambda, L_\mu] \subset L_{\lambda \mu}$。 （注那个

(b) 对于任意的域$K$，假设$\sigma$中的特征值（在$K$中的代数闭扩张中）都不是单位元中的根。证明 $g$ 幂零。 （约化适用于$K$代数闭的情况。如果$\lambda_1, \ldots, \lambda_m$是$\sigma$的不同特征值，则$\lambda_i \lambda_j, \lambda_i \lambda_j^2, \lambda_i \lambda_j^3, \ldots$不全是特征值，因此$\mathrm{ad}_g x$对于$x \in L_{\lambda_i}$是幂零的。 利用得出习题 11 应用于 $\mathrm{ad}_g x$ 的集合，其中 $x$ 穿过 $L_{\lambda_i}$ 的并。） (c) 对于任意的域$K$，假设$\sigma^q = I$，其中$q$是素数数，并且$\sigma$中没有特征值等于1。证明$g$是幂幂的。 （与（b）中的方法，注意到相同，如果$g \neq \{0\}$，$g$不等于$K$的特征，并且对于特征值$\lambda_i, \lambda_j$的每个有序对，$\sigma$都存在整数$k$使得$\lambda_i \lambda_j^k = 1$。）