习题 23, § 4

令$g$是特征$p > 0$的完美域$K$上的李$p$代数。如果对于所有$x \in g$，存在$m$使得$x^{p^m} = 0$，则$g$被称为$p$单能。

(a) 证明每个$p$-单能李$p$-代数都是幂零的。

(b) 假设$g$是幂零的，并令$h$表示$g$的中心的$p$核（$§ 1$，习题23 (a)）。证明 $g/h$ 是$p$-单能的。

(c) 令$g$为幂零李$p$-代数，其中基为三个元素$e_1, e_2, e_3$，使得$[e_1, e_2] = [e_1, e_3] = 0,\ [e_2, e_3] = e_1,\ e_1^p = e_1,\ e_2^p = e_3^p = 0$。那么$h = K e_1$，但$g$不是$h$的直和，也不是$p$单能$p$子代数。

(d) 如果$g$是$p$单能，证明在$g$的受限包络代数中，$g$生成的两侧理想是幂零的。 （在$g$的维数上由归纳争论。）