习题 16, § 5

令$g$是任意域$K$上的李代数，$A$是$K$和$g' = g \otimes_K A$上的交换结合律代数，可以将其视为$K$上的李代数。

(a) 如果$D$是$A$的推导，则证明$g'$存在且仅有一个推导$D'$，使得$D'(x \otimes a) = x \otimes Da$对应$x \in g, a \in A$。

(b) 设$p$为素数数，$G$为阶$p$的循环群和$s$生成元为$G$。假设$K$具有特征$p$，因此让$A$是$G$在$K$上的代数。证明 $A$ 中存在且仅有一个推导 $D$，使得 $D(s^k) = ks^{k-1}$ 对于所有 $k \in \mathbf{Z}$。证明 $x \otimes (s-1)^k$ ($k = 1, 2, \ldots, p-1, x \in g$) 形式的 $K$ 线性组合是 $g'$ 的可解理想$r$，并且 $g'/r$ 同构于 $g$。

(c) 将 $g$ 简化为 (cf. § 6, no. 2, 定义 2)。那么$r$是$g'$的部首，但不是特征理想。 （注意$D(x \otimes (s-1)) = 1 \otimes x$。）[^1]

[^1]: This result, unedited, was communicated to us by N. 雅各布森。