习题 20, § 6

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李群与李代数, I, 106

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假设 K 是代数封闭的。设 $g$ 为李代数，c为中心。

(a) 如果 $g$ 承认有限维忠实简单表示，则 $g$ 是还原性的， $\dim c \leq 1$ 。

(b) 相反，如果 $g$ 是可还原的且 $\dim c \leq 1$ ，则 $g$ 承认有限维忠实简单表示。（如果 $g$ 是简单的，则使用伴随表示。如果 $g = g_1 \times g_2$ 和 $g_1, g_2$ 在空间 $M_1, M_2$ 上承认有限维忠实简单表示 $\rho_1, \rho_2$ ，则表明

(x_1, x_2) \mapsto \rho_1(x_1) \otimes 1 + 1 \otimes \rho_2(x_2)

是 $g$ 的半单表示 $\rho$ ，则 $g$ 模 $M_1 \otimes M_2$ 约化对标量的集中器，因此 $\rho$ 很简单。当 $g_1$ 和 $g_2$ 为半单或 $g_1$ 为半单且 $g_2$ 可交换时，通过考虑 $\rho$ 的核（ $g_1 \times g_2$ 的理想）来证明 $\rho$ 是忠实的。）

解答

尚未写出解答。

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无。

引用了

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