习题 22, § 6

(a) 令任意特征的$g$为幂零李代数超过代数闭域K。令$z$为其中心，$g$的$\rho$有限维表示以及$\beta$相关联的双线性形式。证明 $z \cap \mathscr{D}g$ 与 $g$ 关于 $\beta$ 正交。 （约化，使用 Jordan-Hölder 级数，对于 $\rho$ 很简单的情况。然后注，对于 $z \in z \cap \mathscr{D}g$，$\rho(z)$ 是一个带有迹线零的标量矩阵。然后使用习题 22 (b) § 4。）推断，如果 $\beta$ 是非简并的，$g$ 是可交换的。 （使用§ 4中的习题 3 (a)。）

(b) 假设 K 具有特征 2。证明对于与恒等式表示相关的可解 Lic 代数 $\mathfrak{gl}(2, K) = \mathfrak{g}$ 双线性形式是非简并的，但中心 $\mathfrak{z}$ 包含在 $\mathscr{D}\mathfrak{g}$ 中且为 $\neq \{0\}$。

(c) 设$\mathfrak{g}$为$K$上的6维李代数，其中基$(a, b, c, d, e, f)$和乘法表$[a, b] = -[b, a] = d,\ [a, c] = -[c, a] = e,\ [b, c] = -[c, b] = f$，其他括号为0。令$\beta$为双线性形式 $\mathfrak{g}$使得$\mathfrak{g}$的基的有序对处的$\beta(c, d) = \beta(d, c) = 1,\ \beta(a, f) = \beta(f, a) = 1,\ \beta(b, e) = \beta(e, b) = -1$和$\beta$的另一个值为0。证明$\beta$是不变的，$\mathfrak{g}$幂零的，$\mathfrak{z} = \mathscr{D}\mathfrak{g} \neq \{0\}$和$\beta$非简并。