Bourbaki

习题 26, § 6

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李群与李代数, I, 109

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

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令KK是特征≠2\neq 2的域，Φ\Phi是KK上nn维向量空间上的非简并对称双线性形式。

(a) 证明，如果 n≥5n \geq 5，李代数 o(Φ)\mathfrak{o}(\Phi) 是简单的。 （通过扩展基域，可以简化为Φ\Phi的指标为m=[n/2]m = [n/2]的情况。如果例n=2mn = 2m是偶数，则o(Φ)\mathfrak{o}(\Phi)有基由……组成为元素

Hi=Eij−Ei+m,i+m,Fij=Eij−Ej+m,i+m(1≤i,j≤m,i≠j), H_i = E_{ij} - E_{i+m, i+m}, \quad F_{ij} = E_{ij} - E_{j+m, i+m} \quad (1 \leq i, j \leq m, i \neq j),
Gij′=Ei,j+m−Ej,i+mandGij′′=Ei+m,j−Ej+m,i(1≤i<j≤m); G'_{ij} = E_{i, j+m} - E_{j, i+m} \quad \text{and} \quad G''_{ij} = E_{i+m, j} - E_{j+m, i} \quad (1 \leq i < j \leq m);

然后像习题 24 和 25 一样争论。当 n=2m+1n = 2m + 1 是奇数时，类似地进行。）

(b) 设Δ\Delta为Φ\Phi相对于基的判别式。假设n=4n = 4。证明，如果KK中的Δ\Delta不是平方，则o(Φ)\mathfrak{o}(\Phi)是简单的。如果Δ\Delta是平方，则o(Φ)\mathfrak{o}(\Phi)是两个同构3维简单李代数的乘积。 （使用代数、章 IX, § 9、习题 16 中描述的 G(Φ)\mathbf{G}(\Phi) 的结构。）推导简单李代数的例，当扩展基域时，该简单李代数变得不简单。

解答

尚未写出解答。

被以下引用

引用了

  • Algebra, Chapter IX, § 9, Exercise 16 not yet on this site: A IX
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