习题 2, 附录 0

令 D 为幺半群 $\mathbf{N}^*$ (代数, 章 III, § 2, no. 10) 的总代数。如果$n \in \mathbf{N}^*$，令$n^\omega$表示D中的像，则$\mathbf{N}^*$中$n, m$的$1^\omega = 1$和$(nm)^\omega = n^\omega m^\omega$。†D的每个元素$f$可以唯一地写为级数$\sum_{n=1}^\infty a_n n^\omega$，其中$a_n \in K$。

(a) 令 $f = \sum_{n=1}^\infty a_n n^\omega$ 为 D 的元素。证明当且仅当 $a_1$ 在 K 中可逆时，$f$ 在 D 中可逆。特别是，如果 K 为局部环，则 D 也可逆。

(b) 我们写$\zeta = \sum_{n=1}^\infty n^\omega$和$\mu = \sum_{n=1}^\infty \mu(n) n^\omega$。证明 $\zeta$ 和 $\mu$ 是 1 另一个的倒数。推出，如果$s = \sum_n s(n) n^\omega$和$t = \sum_n t(n) n^\omega$是D的两个元素，关系$s = \zeta \cdot t$和$t = \mu \cdot s$是等价的（莫比乌斯反演公式的变体）。

(c) 令 P 为素数数的集合。证明 $p \in P$ 的$(1 - p^\omega)$族在 D 中是可乘的并且

† 我们经常写$-s$而不是$\omega$；然后我们说 D 的元素是狄利克雷形式幂级数，系数为 K。