习题 1, § 2

让$g$成为一个免费的李代数，并带有基本家庭$(x_1, \ldots, x_n, \ldots)$。令$g_n$表示由$x_1, \ldots, x_n$生成的$g$的子代数，令$b_n$表示$g_n$包含$x_n$的理想最小的。

(a) 证明 $b_n$ 是由 $g_n$ 生成的子模

其中 $k \geqslant 0$ 和 $i_h \leqslant n$ 代表所有 $h$。

(b) 证明$g_n = g_{n-1} \oplus b_n$；推导出 $g$ 是 $b_n$ 的直和对于 $n \geqslant 1$。

(c) 使用(a)和(b)证明K-模$g$是由元素$[x_{i_1}, [x_{i_2}, \ldots, [x_{i_{k-1}}, x_{i_k}] \ldots]]$生成的，其中$k \geqslant 0$和$i_h \leqslant i_k$代表$h < k$。