习题 13, § 2

（在这个习题中，我们假设超过$K$的每个投射模都是免费的；对于例来说也是如此，如果$K$是主理想整环。）

令$l = \sum_{n=1}^\infty l_n$为承认同质元素的基本族$B$由……组成的分级李代数，并令$b$为$l$的分级谎言子代数，即$l$的直因子视为模。

(a) 对于所有$i \geq 0$，令$l^{(i)}$为$l$的分级子代数，使得

然后$l = l^{(0)} \supset l^{(1)} \supset \cdots \supset b$。 通过归纳对$i$论证，证明$l^{(i)}$的基本族$B^{(i)}$、同质元素的由……组成的存在性，使得$B^{(i-1)}$的元素和次数$< i - 1$的$B^{(i)}$是一样的。 （假设$B^{(i-1)}$已经构建完成。 令$m_i$为$l_i = l_i^{(i-1)}$的交，以及由$b_j$为$j < i$生成的子代数，并令$b_i$为由次数的$B^{(i-1)}$的元素生成的$l_i$的子模 $i$。 归纳假设意味着$l_i = m_i \oplus b_i$。 作为$m_i \subset b_i$，我们可以将$b_i$分解为$b_i = \eta_i \oplus \delta_i$，从而得到$b_i = m_i \oplus \delta_i$； 假设 $K$ 模 $\eta_i$ 和 $\delta_i$ 自由的；

如果需要的话，改变次数$i$的$B^{(i-1)}$元素，我们可以假设$\mathfrak{z}_i$是由$B^{(i-1)}$的子集生成的。 应用习题 11 到 $\mathfrak{l}^{(i-1)}$ 及其理想的 $\mathfrak{l}^{(i)}$，我们获得了 $\mathfrak{l}^{(i)}$ 的基本族 $B^{(i)}$ ，具有所需的属性。）

(b) 从 (a) 推出$\mathfrak{h}$ 具有齐次元素的基本族由……组成。